معادلهٔ مقابل را حل کنید: (۱) $\frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2 - x}{x^2 - x}$
الف) ابتدا در صورت امکان مخرج کسرها را به حاصل ضرب عامل‌های اول تجزیه می‌کنیم:
(۲) $\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{2}{(x + 1)} = \frac{2 - x}{x(x - 1)}$
ب) در مخرج‌ها سه نوع عامل اول متمایز وجود دارد، $(x + 1)$ و $(\dots)$ و $(\dots)$ که بزرگترین توان هر کدام از آن‌ها برابر $\dots$ است؛ پس ک.م.م مخرج‌ها عبارت است از $\dots$
پ) طرفین معادلهٔ (۲) را در ک.م.م مخرج‌ها، یعنی $x(x - 1)(x + 1)$، ضرب می‌کنیم تا معادله از شکل کسری خارج شود:
$$x(x - 1)(x + 1) \left[ \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{2}{(x + 1)} \right] = x(x - 1)(x + 1) \left[ \frac{2 - x}{x(x - 1)} \right]$$
$$\Rightarrow 2x^2 + 2x(x - 1) = (x + 1)(2 - x)$$
ت) پس از ساده کردن، معادله $5x^2 - 3x - 2 = 0$ حاصل می‌شود.
ث) برای معادلهٔ درجه دوم اخیر، مقدار $\Delta$ را به دست آورید و معادله را حل کنید. آیا هر دو جواب به دست آمده مورد قبول‌اند؟ چرا؟
معادلهٔ اصلی: $\frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2 - x}{x^2 - x}$
**الف) تجزیهٔ مخرج‌ها**
تجزیهٔ مخرج‌ها به صورت زیر است:
$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$
$$x^2 - x = x(x - 1)$$
معادلهٔ (۲): $$\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{2}{(x + 1)} = \frac{2 - x}{x(x - 1)}$$
**ب) تعیین ک.م.م مخرج‌ها**
عامل‌های اول متمایز در مخرج‌ها عبارتند از: **$(x + 1)$**، **$(x - 1)$** و **$x$**.
بزرگترین توان هر کدام از این عامل‌ها برابر **۱** است.
پس **ک.م.م مخرج‌ها** عبارت است از: $$x(x - 1)(x + 1)$$
**پ) حذف شکل کسری**
با ضرب طرفین معادله در ک.م.م $x(x - 1)(x + 1)$، داریم:
$$x(2x) + 2x(x - 1) = (x + 1)(2 - x)$$
$$2x^2 + 2x^2 - 2x = 2x - x^2 + 2 - x$$
$$4x^2 - 2x = -x^2 + x + 2$$
با انتقال همهٔ جملات به یک طرف:
$$4x^2 + x^2 - 2x - x - 2 = 0$$
$$5x^2 - 3x - 2 = 0$$
**ث) حل معادلهٔ درجه دوم و بررسی ریشه‌ها**
معادلهٔ درجه دوم: $5x^2 - 3x - 2 = 0$. ($a=5, b=-3, c=-2$)
* **محاسبهٔ $\Delta$**:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49$$
$$\sqrt{\Delta} = 7$$
* **محاسبهٔ ریشه‌ها**:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) \pm 7}{2(5)} = \frac{3 \pm 7}{10}$$
$$x_1 = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$$
$$x_2 = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} = -0.4$$
* **بررسی ریشه‌ها**:
باید بررسی کنیم که آیا ریشه‌های به دست آمده باعث **صفر شدن مخرج کسر اصلی** می‌شوند یا خیر. مخرج‌های اصلی در $x \in \{1, -1, 0\}$ صفر می‌شوند (از عامل‌های $x, x-1, x+1$).
* ریشهٔ **$x_1 = 1$**: این مقدار **مورد قبول نیست**، زیرا مخرج‌های $x^2 - 1$ و $x^2 - x$ را صفر می‌کند (تقسیم بر صفر).
* ریشهٔ **$x_2 = -\frac{2}{5}$**: این مقدار هیچ‌یک از مخرج‌ها را صفر نمی‌کند و **مورد قبول** است.
**جواب نهایی معادله**: $$x = -\frac{2}{5}$$
یک متروی تهران به طول $60 \text{ کیلومتر}$، میدان تجریش را به فرودگاه بین‌المللی امام خمینی (قدس سره) متصل می‌کند. برای انجام یک آزمایش، قطاری مسیر شمال به جنوب این خط را با سرعت ثابت $v \text{ کیلومتر بر ساعت}$ و بدون توقف در ایستگاه‌ها طی می‌کند. اگر در مسیر جنوب به شمال، از سرعت قطار $10 \text{ کیلومتر بر ساعت}$ کاسته شود، زمان بازگشت نیم ساعت طولانی‌تر از زمان رفت خواهد شد. مطلوب است محاسبهٔ طول زمان رفت و زمان برگشت این قطار.
الف) توضیح دهید، چرا زمان رفت از رابطهٔ $\frac{60}{v}$ به دست می‌آید؟
ب) عبارتی بر حسب $v$ بنویسید که زمان برگشت را نشان دهد.
پ) توضیح دهید چرا معادلهٔ $\frac{60}{v - 10} = \frac{60}{v} + \frac{1}{2}$ برقرار است.
ت) طرفین این معادله را در ک.م.م مخرج‌ها ضرب کنید تا به یک معادلهٔ درجه دوم تبدیل شود.
ث) از حل معادلهٔ حاصل، سرعت قطار در مسیر رفت را بیابید و به کمک آن، زمان رفت و زمان برگشت قطار را به دست آورید.
فاصلهٔ کل مسیر: $D = 60 \text{ کیلومتر}$.
**الف) زمان رفت**
زمان رفت از رابطهٔ کلی $\text{زمان} = \frac{\text{مسافت}}{\text{سرعت}}$ به دست می‌آید.
در مسیر رفت (شمال به جنوب)، مسافت $60 \text{ کیلومتر}$ و سرعت $v$ است. پس:
$$\text{زمان رفت} = t_{\text{رفت}} = \frac{60}{v}$$
**ب) عبارت زمان برگشت**
در مسیر برگشت (جنوب به شمال)، سرعت قطار $10 \text{ کیلومتر بر ساعت}$ کاهش می‌یابد.
$$\text{سرعت برگشت} = v' = v - 10$$
بنابراین، زمان برگشت برابر است با:
$$\text{زمان برگشت} = t_{\text{برگشت}} = \frac{60}{v - 10}$$
**پ) توضیح معادلهٔ $\frac{60}{v - 10} = \frac{60}{v} + \frac{1}{2}$**
صورت مسئله بیان می‌کند که «زمان بازگشت **نیم ساعت** طولانی‌تر از زمان رفت خواهد شد».
* زمان برگشت: $t_{\text{برگشت}} = \frac{60}{v - 10}$
* زمان رفت: $t_{\text{رفت}} = \frac{60}{v}$
* اختلاف زمان: $t_{\text{برگشت}} - t_{\text{رفت}} = \frac{1}{2}$ (نیم ساعت)
$$\frac{60}{v - 10} - \frac{60}{v} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{60}{v - 10} = \frac{60}{v} + \frac{1}{2}$$
معادلهٔ داده شده از این رابطهٔ زمانی به دست آمده است.
**ت) تبدیل معادله به درجه دوم**
معادله: $\frac{60}{v - 10} - \frac{60}{v} = \frac{1}{2}$. ک.م.م مخرج‌ها $2v(v - 10)$ است. طرفین را در ک.م.م ضرب می‌کنیم:
$$2v(v - 10) \left[ \frac{60}{v - 10} - \frac{60}{v} \right] = 2v(v - 10) \left[ \frac{1}{2} \right]$$
$$2v(60) - 2(v - 10)(60) = v(v - 10)$$
$$120v - 120v + 1200 = v^2 - 10v$$
$$v^2 - 10v - 1200 = 0$$
**ث) یافتن سرعت و زمان‌های رفت و برگشت**
معادلهٔ درجه دوم: $v^2 - 10v - 1200 = 0$. ($a=1, b=-10, c=-1200$)
* **حل معادله ($v$)**:
$$\Delta = (-10)^2 - 4(1)(-1200) = 100 + 4800 = 4900$$
$$\sqrt{\Delta} = 70$$
$$v = \frac{-(-10) \pm 70}{2(1)} = \frac{10 \pm 70}{2}$$
$$v_1 = \frac{10 + 70}{2} = 40$$
$$v_2 = \frac{10 - 70}{2} = -30$$
از آنجایی که سرعت نمی‌تواند منفی باشد، $v_2 = -30$ **قابل قبول نیست**.
همچنین باید $v - 10 > 0$ باشد، پس $v = 40 \text{ km/h}$ **سرعت قطار در مسیر رفت** است.
* **محاسبهٔ زمان رفت و برگشت**:
$$\text{زمان رفت } (t_{\text{رفت}}) = \frac{60}{v} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ ساعت}$$
$$\text{زمان برگشت } (t_{\text{برگشت}}) = \frac{60}{v - 10} = \frac{60}{40 - 10} = \frac{60}{30} = 2 \text{ ساعت}$$
(توجه: $2 - 1.5 = 0.5$ ساعت، که تأیید کنندهٔ شرط صورت مسئله است.)
**زمان رفت**: $$1.5 \text{ ساعت}$$
**زمان برگشت**: $$2 \text{ ساعت}$$
